Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

1. Bilangan Berpangkat

a. Arti Bilangan Berpangkat

Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bilangan pokok dalam perpangkatan disebut basis. Dan banyaknya bilangan pokok yang digunakan dalam perkalian berulang disebut dengan pangkat, sehingga bentuk umum dari perpangkatan bisa dijelaskan seperti yang ada di bawah ini:

X^n= x×x×x×x...x (sejumlah n bilangan positif).

Dimana x adalah bilangan pokok dan n adalah pangkat atau eksponen.

Contoh : 

- 5² dibaca “lima pangkat dua” yang mempunyai arti = 5 × 5 = 25

- 5³ dibaca “lima pangkat tiga” yang mempunyai arti = 5 × 5 × 5 = 125

- 5⁴ dibaca “lima pangkat empat” yang mempunyai arti = 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Jadi, pokok suatu bilangan terletak pada angka 5 dan untuk pangkat terletak di angka 4.

b. Sifat Perpangkatan

Untuk memahami perpangkatan harus mengetahui dahulu sifat-sifat yang digunakan pada perpangkatan ini. Sifat-sifat dari perpangkatan adalah sebagai berikut ini:

c. Pangkat Bilangan Bulat positif

- Bilangan-bilangan asli : 1,2,3,4,… disebut juga bilangan bulat positif 

- Bilangan-bilangan seperti :, -, , , dan seterusnya merupakan bentuk perpangkatan dengan pangkat bilangan positif.

Secara umum : = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 … . 𝑎 sebanyak n faktor, a ∈ R = bilangan Real n ∈ bilangan bulat positif

Contoh : Tentukan nilai dari 12²!

Alternatif penyelesaian : = 12 x 12 = 144.

Banyak sifat yang dimiliki oleh suatu bilangan pangkat bulat dengan nilai positif. Sehingga, a serta b adalah sebuah bilangan bulat dan m serta n adalah bilangan bulat positif, sehingga berlakulah sebuah sifat, antara lain: 

1) Perkalian Bilangan Berpangkat 

Contoh 1 : 4²× 4³= 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4^(2+3)= 4⁵

Sifat ini memiliki kemudahan seseorang dalam mengoperasikan sebuah perkalian di dalam bilangan yang memiliki pangkat dengan perbedaan eksponennya melalui penambahan eksponen. 

Contoh 2 : (7³)⁵= 7³×7³×7׳×7³×7³

  = (7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7)

  = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 

  = 7^(3×5)

  =  7¹⁵

Sifat ini melakukan pengoperasiannya dengan cara mengalikan kedua eksponen. 

Contoh 3 : (3×9)⁴ = (3 × 9) × (3 × 9) × (3 × 9) × (3 × 9) = 3 × 3 × 3 × 3 × 9 × 9 × 9 × 9 =  3⁴×9⁴

Sifat ini memiliki kaitannya dengan pengoprasian perkalian pada sebuah pengelompkan bilangan. Kemudian untuk mempermudah pengoprasiannya maka kelompok bilangan tersebut dipecahkan dan dimasukan di dalam kurung sehingga membentuk suatu pola dan kemudian dioprasikan hingga memperoleh basis dengan kesamaan terhadap eksponennya. 

2) Pembagian Bilangan Berpangkat 

  

Contoh 1 : 5⁶÷5⁴  = (5×5×5×5×5×5): (5×5×5×5) =  5^(6-4) = 5²

Sifat ini memiliki kaitannya dengan pembagian. Sehingga jika pengoprasian pembagian ini dilakukan dengan perbedaan yang terletak di eksponennya maka pengurangan dapat dilakukan secara langsung pada eksponen tersebut. 

Sebuah pecahan memiliki pemangkatan yang jika dikerjakan tidak terlalu sulit. Pemberian kesamaan eksponen mempermudahkan dalam mengoperasikan sebuah pangkat sesuai dengan 5 sifat dari pemangkatan tersebut. 

3) Bilangan Berpangkat Nol 

Rumus perpangkatan untuk bilangan dengan pangkat nol adalah sebagai berikut ini:

a⁰=1 dengan a adalah bilangan real.

Setiap bilangan real yang berpangkat nol adalah sama dengan satu.

Contoh :  10⁰=1

4) Bilangan berpangkat negative dan bentuk akar

Rumus perpangkatan untuk bilangan dengan pangkat negatif adalah sebagai berikut ini

2. Bilangan Bentuk Akar

Akar merupakan salah satu operasi dalam aljabar yang digunakan dalam melakukan penyelesaian terhadap suatu bilangan. Suatu bilangan bentuk akar mempunyai sebuah cara untuk melakukan rasional terhadap bentuk akar dan mempunyai sifat-sifat bentuk akar. 

Suatu bentuk akar adalah sebuah bilangan akar yang memiliki hasil bilangan irrasional dan bukan termasuk dalam bilangan rasional. Bilangan pangkat dapat dinyatakan dengan bentuk akar sebagai bentuk lainnya. Bentuk akar adalah bilangan irasional yang mampu dinyatakan dengan sebuah pecahan yaitu a/b di mana a dan b ≠0  serta a dan b merupakan sebuah bilangan bulat. 

Arti Akar Bilangan

Adapun Operasi yang Melibatkan Bentuk Akar, diantaranya :

a) Hubungan antara bilangan berpangkat dan bentuk akar 

 

b) Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Sifat-sifat : 

c) Pengurangan dan Penjumlahan Bentuk Akar 

Pengurangan dan penjumlahan aljabar telah kalian pelajari, apakah masih ingat? Perhatikan contoh berikut ini untuk mengingatnya Kembali, yaitu: 

3p+5p= (3+5) p= 8p

Bagaimana dengan 3p+5x dan 7z-3y? Bentuk dari 2 aljabar tersebut tidak mampu untuk dilakukan pengurangan dan penjumlahan dikarenakan 2 aljabar tersebut mempunyai perbedaan di variabelnya.

Contoh dari pengurangan maupun penjumlahan tersebut memiliki keberlakuan juga di pengurangan dan penjumlahan bentuk akar. Pada operasi aljabar kita mengenal suku sejenis, demikian pula pada bentuk akar.

3√2+5√5 dan 7√3-3√7 adalah bentuk akar, lalu bagaimana cara pengoperasiannya? Bentuk akar dari keduanya tersebut tidak mampu untuk dilakukan pengurangan maupun penjumlahan, hal tersebut disebabkan tidak terpenuhinya aturan yang terdapat dalam pengurangan dan penjumlahan pada bentuk aljabarnya. Berikut ini merupakan sifat dari pengurangan dan penjumlahan bentuk akar, yaitu: 

Perhatikan contoh berikut ini agar kalian lebih mampu memahami terkait dengan penjumlahan dan pengurangan dari bentuk akar.

Contoh: 

Sederhanakanlah!

Proses pengurangan dan penjumlahan di bentuk akar mampu dilakukan walau aturan pengurangan dan penjumlahan tidak memenuhi aturan melalui cara melakukan penyederhanaan terkait dengan bentuk akar tersebut dan selanjutnya dilakukan penyelesaian dengan menggunakan operasi pengurangan ataupun penjumlahan suatu aljabar. Seperti contoh soal nomor 3 dan nomor 4. 

d) Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat 

Merasionalkan artinya mengubah bentuk bilangan irasional menjadi bentuk bilangan rasional.

Hal ini dapat dilakukan pada : 

1. Perkalian dua akar yang sama

2. Perkalian akar sekawan 

Beberapa yang termasuk pasangan akar sekawan adalah : 

Untuk lebih memahami cara merasionalkan bentuk akar, perhatikan contoh soal di bawah ini: Hitunglah !

e) Merasionalkan Penyebut Bentuk a/√b

Apakah kalian telah paham jika √2, √3, √5, √7 merupakan beberapa bilangan irrasional . Kemudian 1√2, 1/√3, 1/√5, 1/√7 juga termasuk kedalam bilangan irrasional. Sebuah pecahan yang memiliki penyebut tersebut dilakukan pengubahan terlebih dahulu ke bentuk bilangan rasional, dimana disebut dengan merasionalkan bentuk akar. 

Untuk dapat lebih memahami, perhatikan contoh di bawah ini : 

Rasionalkan bentuk akar dari 1/√2

Alternatif penyelesaian:

f) Merasionalkan Penyebut Bentuk c/(a+√b) atau c/(√a+√b)

Contoh soal :

Rasionalkan bentuk :